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Restitutions Organisées de Connaissances
• Toutes les R.O.C. avec leurs démonstrations
• Toutes les R.O.C. sous forme d'exercices "type Bac"
Suites. Raisonnement par récurrence.
• Généralités sur les suites (rappels de 1°S) - Exercices
+ une fiche d'exercices (source : chingatome.net) de révisions de 1°S
• Le cours
• Correction de l'exercice 24 page 53 **
• Correction de l'exercice 67 page 57 **
• Correction de l'exercice 68 page 57 **
• Fiche d'exercices supplémentaires et sa correction **
Source : tiré de dominique.frin.free.fr
• Démonstration du "raisonnement par récurrence" à l'aide de l'axiomatique ordinale
Document de P. Zarpas, trouvé sur le net
• Démonstration (par récurrence) de l'inégalité de Bernoulli
Cette démonstration est une Restitution Organisée de Connaissances (R.O.C.).
• Démonstration (par récurrence) du binôme de Newton
Source : tiré de chingatome.net
• Quelques éléments biographiques sur Kurt Gödel
+ un article de Gianbruno Guerrerio (revue Pour La Science, 2004) qui précise comment, dans les années 1940-1950, au fil de ses discussions avec Einstein, Gödel s'intéresse à la théorie de la relativité générale, au point de développer un modèle cosmologique original.
• Une magnifique vidéo de David LOUAPRE (Science Etonnante) pour mieux comprendre les théorèmes d'incomplétude de Gödel :
Le calcul de certaines suites de nombres peut parfois provoquer des envolées numériques au comportement étonnant, qui semblent filer vers des espaces intersidéraux infinis… mais qui peuvent éventuellement, contre toute attente, revenir atterrir tout doucement sur Terre !
• Pour visualiser le jeu de l'hydre et essayer de comprendre la démonstration du théorème de l'hydre (Hercule parviendra à tuer l'hydre quelles que soient sa taille initiale et la stratégie utilisée), donc parler d'ordinaux de façon « ludique » :
• Pi = 2 ?
• Le cours
+ une fiche/résumé (source : Paul MILAN)
Compléments
• Le scandale des séries divergentes... 1+2+3+4+5+… = -1/12 ?!!
Un bel article de David Louapre sur son blog : "science étonnante".
Affecter -1/12 à cette somme est possible sous certaines conditions, et les calculs heuristiques, quoique formellement faux, permettent étonnamment de retrouver cette valeur.
Le pire : ce résultat en apparence absurde est utilisé dans quelques modèles de physique théorique, et notamment c’est elle qui détermine les fameuses dimensions supérieures de la théorie des cordes !
• Le cours
• Quelques démonstrations de propriétés du cours (hors programme)
PARTIE 1 : rappels de Première S
• Fiches de révisions sur la dérivation :
- fiche n°1 * et sa correction *
- fiche n°2 * et sa correction *
Source : chingatome.net
• Le cours
• Exercices et compléments et sa correction **
Fiche d'exercices (dont un sur une propriété bien utile dans le chapitre "fonction exponentielle")
+ une biographie intéressante de Joseph Louis Lagrange
PARTIE 2
• Le cours
• Correction du 58 p131 (la piscine) : énoncé et correction
• Une démonstration de la formule de la dérivée d'une fonction composée (hors programme)
Source : chingatome.net
• Activité d'introduction : méthode d'Euler [compte-rendu]
et tracé de la courbe de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler (fichier Geogebra en ligne) :
(pour une version à télécharger - .ggb - cliquer ici)
• Le cours
• Courbe représentative de la fonction exponentielle (avec 2 tangentes particulières)
Continuité d'une fonction sur un intervalle.
• Le cours
• Le cours
• Activité d'introduction : calcul de l'aire sous une courbe
6 méthodes classiques, fichier Geogebra en ligne :
(pour une version à télécharger - .ggb - cliquer ici)
Pour voir l'activité en vidéo (11 min):
• Le cours
+ le cours en vidéo (37 min):
• "Intégration et primitives en 5 min":
• Une fiche d'exercices sur le calcul de primitives et sa correction
• Activité algorithmique : deux autres méthodes de calcul de valeurs approchées d'intégrales
Méthode Monte-Carlo (par rejet) et méthode de l'espérance (valeur moyenne).
• Un rapide résumé de l'histoire de l'intégration
• Un article : "Newton vs Leibniz. Qui a inventé le calcul intégral ?" *
• Volume engendré par la rotation d'une fonction (fichier Geogebra en ligne) :
(pour une version à télécharger - .ggb - cliquer ici)
• Le cours
• Un schéma de résumé sur les équations trigonométriques
Source : Paul Milan, https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/pages/mathTermS.html
• Démonstrations des formules d'addition et de duplication (1°S)
Source : https://www.parfenoff.org/
• Compléments :
- pourquoi sinus et cosinus ? (étymologie)
- à quoi servent ces fonctions ? (ondes)
- un mot sur la trigonométrie hyperbolique
• Comment les calculatrices calculent-elles les fonctions trigo. cos, sin, tan
Source : Malice 2000 Lycées, éditions du Kangourou
Nombres complexes (partie 1).
Définition, opérations et propriétés usuelles, conjugué, équations du second degré, représentation graphique + historique..
• Introduction historique aux nombres complexes
Au XVIe siècle, les algébristes italiens apprennent à résoudre les équations du troisième degré, en les ramenant à des équations du second degré dont la résolution est connue depuis le IXe siècle grâce aux mathématiciens arabes.
Au cours de cette recherche vont apparaître les nombres complexes.
• Histoire des nombres complexes
Une longue histoire, rocambolesque et un peu complexe. Histoire des "nombres imaginaires"...
A la fin du document, des anecdotes croustillantes sur Tartaglia et Cardan... A LIRE !
• Le cours
• A quoi ça peut servir les fractales (comme celle de Mandelbrot) ?
Un article du magazine L'Express sur l'utilité des fractales dans notre quotidien. A LIRE !
• Une superbe vidéo de ElJj pour comprendre ce qu'est l'hypothèse de Riemann, la conjecture la plus célèbre du monde !
Compléments sur les ensembles de Julia et les ensembles de Mandelbrot
Cliquer sur l'image pour l'afficher en taille réelle (source : Wikipedia)
• Pour comprendre (et visualiser) :
1) une partie d'un épisode de l'extraodinaire film Dimensions (site) : ici (env. 6 minutes).
2) une vidéo du génial El Jj :
Ainsi que l'article correspondant, qui récapitule bien la différence entre ensemble(s) de Julia et ensemble de Mandelbrot (+ de jolies images) : ici.
3) un article de El Jj sur les "cousins" des ensembles de Mandelbrot (en changeant la formule z2+c par d'autres expressions, comme z17+c : ici.
• Pour visualiser seulement :
1) un zoom jusqu'à 1031, qui a nécessité 136 heures de calculs sur 2 PC (cliquer sur l'image) : ici.
2) un zoom fascinant jusqu'à 10227, qui a nécessité environ 4 semaines de calculs :
3) Une (petite) galerie d'ensembles de Julia, absolument MAGNIFIQUES, par Jos Leys : ici.
4) Télécharger le logiciel (gratuit) XaoS, qui permet d'explorer toutes sortes de fractales dont bien sûr les ensembles classiques de Julia et Mandelbrot - la plupart des vidéos citées ci-dessus ont utilisé XaoS : ici.
Nombres complexes (partie 2).
Forme trigonométrique, notation exponentielle, applications en géométrie + la plus belle formule du monde.
• Le cours
Droites et plans dans l'espace.
• Sections planes : une fiche d'exercices pour s'entraîner et sa correction
• Le cours
• Les figures des exercices 21, 75 et 97, afin de tracer les sections planes
• Démonstrations des deux propriétés suivantes :
" Soit P un plan et A un point de l'espace.
Il existe une unique droite passant par A et orthogonale à P. "
" Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles. "
• Le cours
• Une interrogation (3 exercices) pour s'entraîner et sa correction **
• Fiche résumé sur les droites de l'espace (source : P. MILAN)
• Rappels sur le produit scalaire dans le plan (1°S) :
• 14 exercices de Bac (sessions 2015 et 2016)
et leurs corrections (source : APMEP)
• Fiche résumé sur les plans de l'espace (source : P. MILAN)
• Fiche bilan sur le produit scalaire (source : P. MILAN)
• Rappels : l'essentiel de Seconde
• Le cours
+ solution du problème de fin et infos sur le théorème de Bayes
• Correction des exercices 9, 21 et 25 pages 376/377/378 **
• Rappels de 1°S sur les lois de probabilités * et la loi binomiale *
Source : mathematoques.weebly.com
Lois à densités (partie 1). La théorie & les lois uniformes.
• Le cours
Lois à densités (partie 2). Les lois exponentielles.
• Le cours
• Correction de l'exercice 65 page 423 (type Bac)
Compléments
• Un article sur l'espérance de vie
D’après un article de François Sauvageot, mathématicien, enseignant, chercheur.
" Comme toujours avec un indicateur, il faut rester sur ses gardes : il répond à une question et il faut garder à l’esprit cette question afin ne pas user de cet indicateur pour répondre à une autre question. "
Source : http://maths-au-quotidien.fr/lycee/esperance.pdf
+ Comment est calculée l'espérance de vie ? Paradoxes. *
Source : Alternatives économiques (déc. 2016)
Lois à densités (partie 3). Les lois normales.
• La planche de Galton :
Une autre vidéo avec des lentilles (source) :
Un poster qui résume ce qu'est cette planche et son lien avec la loi normale :
Version en meilleure qualité (PDF) disponible ici (source).
• Activité de rappels sur la loi binomiale (fraude systématique favorable ?)
• Rappels de 1°S sur les lois de probabilités et la loi binomiale *
Source : http://mathematoques.weebly.com
• Compte-rendu de l'activité d'introduction à la loi normale (faite en classe)
+ lien vers le fichier Geogebra en ligne associé (version téléchargeable ici)
• Le cours + les démonstrations et solutions des exercices
+ un complément : lorsqu'on approche une binomiale par une loi normale, on peut démontrer que l'erreur est inférieure à 0,0127, ce qui selon la situation étudiée n'est pas négligeable.
Des informations passionnantes sur : pourquoi la loi normale centrée réduite a longtemps été utilisée ?
Pourquoi la loi normale est très utilisée ? Et pourquoi loi « normale » ?
Quel est l'historique de la loi normale, et pourquoi « normale » ?
Quelques infos biographiques sur les mathématiciens contributeurs à cette superbe loi.
• Activité sur la correction de continuité + correction
• Activité sur le carnet de santé (courbes de masse et de croissance) + correction
Suis-je normal ? La loi normale s'invite dans le carnet de santé officiel... Mais d'où viennent ces données ? ^_^
• Une démonstration accessible à un T°S du théorème de Moivre-Laplace dans le cas p=0.5 (hors programme)
Compléments sur la méthode Monte-Carlo et AlphaGo (Google DeepMind ; jeu de go)
Nous avons vu la méthode Monte-Carlo dans l'exercice 94 p.274, ce qui nous a permis de calculer l'intégrale d'une fonction dont on ne connaît pas de primitive.
La méthode Monte-Carlo désigne une famille de méthodes algorithmiques visant à calculer une valeur numérique approchée en utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Le nom de ces méthodes, qui fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo, a été inventé en 1947 par Nicholas Metropolis, et publié pour la première fois en 1949 dans un article coécrit avec Stanislaw Ulam.
En mars 2016, le programme AlphaGo, créé par Google DeepMind, a battu pour la première fois un des meilleurs joueurs mondiaux au jeu de go... Les spécialistes pensaient pourtant que cela prendrait au moins 10 ans pour y arriver.
AlphaGo s'est nourri de 30 millions de mouvements de joueurs professionnels pour sa phase d'apprentissage, qu'il a complété par une phase d'apprentissage renforcé.
Il utilise la méthode de Monte-Carlo, guidée par deux réseaux de neurones profonds, contenant chacun 12 couches qui tendent à imiter le fonctionnement du cerveau humain, capable de traiter plusieurs informations en même temps, de les associer puis d'en déduire une conclusion.• Pour mieux comprendre de quoi il s'agit : accéder à l'article •
Et deux vidéos très intéressantes sur le sujet: lien1 & lien2
• Le cours + les démonstrations
• Les intervalles de fluctuation de Première (algorithmes en langage naturel)
• Fiche de 15 exercices + corrections
Compléments
• Un exercice pour démontrer qu'à partir d'un certain rang, la probabilité que la fréquence Fn appartienne à l'intervalle de fluctuation vu en Terminale est SUPERIEURE à 95% : (et sa correction)
• Un article sur la représentation "en 3D" des intervalles de fluctuation étudiés au lycée
Avec les intervalles de fluctuation de Seconde et de Terminale, on peut chercher à représenter dans l'espace une fonction qui à tout entier naturel non nul n et à tout réel p appartenant à [0;1] associe la probabilité que Fn appartienne à In (intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 vu en Terminale) ou Jn (intervalle de fluctuation - asymptotique approché - vu en Seconde).
• Un article sur les études scientifiques (Sciences et Avenir)
Aucun seuil statistique ne peut définir à lui seul le succès ou l'échec d'une expérimentation, dénoncent 800 statisticiens et scientifiques dans un texte publié par Nature. C'est pourtant ce que l'on trouve dans 96% des publications biomédicales et de sciences de la vie..
Estimation. Intervalle de confiance.
• Le cours
• Lien vers un fichier Geogebra en ligne qui permet d'estimer une proportion p à partir de plusieurs échantillons (intervalle de confiance au seuil 0.95)
(version téléchargeable ici)
• Fiche de 11 exercices + corrections des exercices 1 à 8
Compléments
• Une vidéo (un peu technique mais géniale) sur les instituts de sondage en France et leurs liens avec les politiques, les lobbies, les grands chefs d'entreprises... :
• Une vidéo du magazine Envoyé Spécial sur les " secrets de sondages" :
Les sondages sont devenus incontournables dans les campagnes électorales. Pourtant, ils se trompent souvent : victoire du Brexit, de Donald Trump ou de François Fillon aux primaires de la droite, trois événements majeurs que les instituts n’ont pas su prévoir. Quelle confiance peut-on accorder aux sondages ? Pendant plusieurs mois, une équipe d’"Envoyé spécial" a enquêté dans les cuisines des sondeurs. Elle a découvert des méthodes contestables : des sondés rémunérés qui n’hésitent pas à mentir, des questions biaisées, des chiffres manipulés.
Quels sont les secrets de fabrication des sondages ? Comment sont-ils conçus ? Jusqu’où influencent-ils les électeurs et les candidats eux-mêmes ? Mettent-ils en danger notre démocratie ? Révélations sur les secrets des oracles de la politique.
L'ORAL DE "RATTRAPAGE" DU BAC EN MATHEMATIQUES
---- tout savoir sur l'oral, dans ce fichier PDF ----
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