EXERCICES CONSEILLES
En 2018-2019 :
• 5/12/2018 : probabilités conditionnelles
Exercice 4 (partie B) de l'épreuve du Bac S Pondichéry d'avril 2006
=> Correction
• 5/12/2018 : probabilités conditionnelles
Exercice 2 de l'épreuve du Bac S Liban de 2005
=> Correction
• 16/12/2018 : nombres complexes
Extrait corrigé de l'épreuve du Bac S Asie de juin 2015 (exercice "calculatoire")
• 16/12/2018 : suites et raisonnement par récurrence
Etude (corrigée) d'une suite arithmético-géométrique et de la somme de ses termes
Source : Chingatome.fr
• 27/12/2018 : nombres complexes
3 exercices sur des nombres complexes vérifiant une condition
=> Correction
Source : Chingatome.fr
• 27/12/2018 : suites, raisonnement par récurrence et limites
Etude d'une suite, de la somme de ses termes et de la limite de la moyenne des termes
=> Correction
Source : Chingatome.fr
• 28/12/2018 : dérivation et limites de fonctions
5 exercices divers
=> Correction
Source : Chingatome.fr
DEVOIRS A LA MAISON
La conjecture de Collatz (ou conjecture de Syracuse)
• Énoncé
• Correction avec des infos sur la suite de Syracuse et des programmes Python, Casio, Xcas, Algobox...
• Correction avec 2 programmes Python (réponse au DM + graphique d'une suite de premier terme donné)
• De SUPERBES graphiques obtenus par Léo VENDEVILLE (élève 2018-2019) avec des programmes Python :
• Un article (passionnant) de J.-P. Delahaye de 2012, pour la revue Pour La Science
Malgré des progrès récents et l’intérêt de nombreux mathématiciens professionnels et amateurs, la démonstration de la conjecture de Syracuse résiste encore. Et si c'était un théorème indécidable ? En fait, nous avons quelques raisons de considérer cette question de l’indécidabilité avec sérieux, car un résultat de logique mathématique établit que nous ne sommes pas loin de l’indécidabilité.
• Un article (passionnant) de P. Pajot pour la revue La Recherche
En septembre 2019, Terence Tao met en ligne une pré-publication (de 49 pages de haut niveau !) qui aboutit par des arguments probabilistes au résultat que "la plupart" des entiers de départ obéissent à cette conjecture.
Un résultat partiel stipule que presque tout entier \(n\) atteint au moins une fois un entier plus petit que \(n\).
Il démontre alors que presque tout entier n atteint au moins une fois un entier plus petit que f(n), où f est une fonction qui tend vers l'infini aussi lentement que l'on veut (donc est "presque" bornée). Il prend par exemple la fonction ln(ln(ln(ln(n)))), qui croît très lentement vers l'infini... Mais pour prouver la conjecture, il faudrait que f soit une constante... Mais cela reste un résultat extraordinaire : la conjecture semble bien vraie !
Exercice 88 page 62 (Odyssée Tle S, éd. Hatier, 2012)
• Énoncé et correction
Les tours de Hanoï et la légende de Sissa
• Énoncé et corrections : tours de Hanoï / légende de Sissa
Erratum : la citation on peut en savoir plus sur quelqu’un en une heure de jeu qu’en une année de conversation est généralement attribuée à Platon. Comme souvent, il faut vérifier... Et comme souvent, il y a erreur : Platon n'a jamais écrit cela !
Il semble que ce soit plutôt tiré d'un amusant ouvrage de Richard Lindgard publié à Dublin en 1670... Voir http://www.guichetdusavoir.org/
• Un des nombreux sites pour jouer aux tours de Hanoï : cliquer ici.
• Un article (passionnant) de J.-P. Delahaye de novembre 2015, pour la revue Pour La Science
Le problème inventé par Édouard Lucas en 1883 fait apparaître des liens avec un grand nombre de sujets mathématiques : arithmétique, graphes, fractales, etc.
[NDLR : théorie des graphes, triangle de Sierpinski... Qu'il est étrange de voir tout cela lié aux tours de Hanoï !]
Extrait 1 :La solution optimale avec 4 plots au lieu de 3 et pour n disques faisait depuis 1941 l’objet d’une conjecture.Quelques résultats avaient cependant été obtenus par calculs.En 2014, Thierry Bousch a pu prouver la conjecture.Extrait 2 :
Certains voudraient classer les idées et les domaines mathématiques en fonction de leur sérieux et de leur intérêt « profond ». Il y aurait d’un côté les vraies mathématiques, difficiles, exigeantes, justifiant que les professionnels s’y intéressent et dont la subtile hiérarchie serait fixée par une petite élite. De l’autre, il y aurait les récréations, jeux, amusements et divertissements mathématiques traitant de thèmes faciles et combinatoires pour amateurs plus ou moins cultivés qui cherchent à occuper leurs loisirs avec des problèmes sans véritable importance.
La réalité est moins tranchée et l’histoire montre qu’il n’y a pas de frontière entre ce qui est digne de l’attention des professionnels et ce qui n’est qu’un passe-temps pour passionnés ignorants.
Le grand théorème de Fermat n’est au départ qu’une question arithmétique insignifiante.
La conjecture de Syracuse n’est qu’un jeu irritant, sans importance avant qu’on admette qu’elle pose un vrai défi aux mathématiciens...
Le théorème de Zeckendorf
Le théorème de Zeckendorf (1952) énonce que tout entier naturel peut s’écrire en « base Fibonacci ».
• Énoncé et correction
• Énoncé et corrections : parties I. et II.1 (démo. par l'absurde) ; partie II.2 (démo. de N. Oresme)
• Complément de 24 pages qui fait le lien entre cette suite harmonique et la création historique / la théorie des notes de musique… C'est loin d'être aussi simple qu'on le pense, et c'est passionnant. Cliquer sur l'image ci-dessous pour voir le sommaire.
Exercice 58 page 131 (Odyssée Tle S, éd. Hatier, 2012)
• Énoncé et correction
Les boites de conserve
• Énoncé et correction
Football : la science du penalty
• Énoncé et correction de Eudoxie SYLVESTRE et Hippolyte SYLVESTRE
+ une autre correction (de Léa ESTIVALS) de la question 2.a de la partie I.3 (équilibre de Nash)
• Vidéos :
- Le penalty à deux de Johan Cruyff (décembre 1982) - télécharger
- Le penalty à deux de Messi et Suarez (14 février 2016) - télécharger une version française
- L'échec de henry et Pires (2005) - télécharger
Convexité de la fonction exponentielle
• Énoncé (exercice 6 page 179) :
" Soit C la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère du plan.
Soient A et B deux points distincts de C.
Montrer que le segment [AB] est toujours au-dessus de la courbe C.
On dit que la fonction exponentielle est convexe. "
Tintements de verres (et poignées de mains)
• Énoncé et correction
Schémas pour la situation avec 5 personnes :
La dynamique des populations (modèle continu).
Partie 1 : modèles sans intéractions.
• Énoncé et correction
La dynamique des populations (modèle continu).
Partie 2 : modèles proies/prédateurs.
• Énoncé
La loi de Titius-Bode.
Devoir inspiré d'un exercice du manuel Odyssée, éd. Hatier, 2012.
• Énoncé et correction
• L'histoire passionnante de cette loi, à découvrir ici
• Sur la découverte de Neptune : des éléments à lire pour comprendre à quel point la découverte d'une planète est rarement le fruit des efforts d'un seul homme; mais aussi le fait qu'encore une fois, ceux qui retirent la gloire d'une telle découverte ne le méritent pas vraiment... A découvrir ici
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