Le célèbre modèle mathématique de Lotka-Volterra décrit certaines dynamiques de systèmes biologiques dans lesquels un prédateur et sa proie interagissent :

\(X'=aX-bXY\) et \(Y'=-cY+dXY\).

Il est fascinant d'observer que ce modèle décrit parfaitement les évolutions cycliques du nombre de lynx et de lièvres des neiges au Canada. Au Québec, l'analyse des données de récolte de fourrures de lynx depuis 1917 a permis d'évaluer la fréquence des oscillations du cycle à 9,1 ans :

 

Plusieurs études ont tenté d'expliquer ce phénomène cyclique en le reliant à différents facteurs comme l'activité solaire, le cycle lunaire, les conditions météorologiques, les feux de forêts, etc. Dans les faits, la variation cyclique des populations de lynx a été reliée assez rapidement aux cycles de 10 ans qui caractérisent les populations de lièvres d'Amérique.

Le cycle du lynx est généralement déphasé de un à deux ans par rapport au cycle du lièvre :

 

 

Encore plus fascinant, ce modèle a aussi été employé par le neuropsychiatre américain Allan Hobson pour décrire les relations entre les neurones cholinergiques responsables du sommeil paradoxal et les neurones aminergiques liées à l'état de veille.

Ce modèle de Lotka-Volterra peut être en partie étudié en Terminale S, mais il s'explique aussi facilement à des collégiens.
Quelle magie de voir apparaître ces cycles naturels : modéliser la nature, c'est se prendre pour Dieu l'espace d'un instant.

 

En Terminale S, je donne deux devoirs à la maison (50 pages au total !) sur la dynamique des populations en modèle continu : le premier sur les modèles sans intéraction, le second sur les modèles proies-prédateurs (dont le modèle de Lotka-Volterra dont je viens de parler ci-dessus).

Il s'agit alors de ce qu'on appelle des modèles continus, car ils partent du postulat que le temps est continu (une infinité de secondes dans une minute, etc.).

Si l'on considère que le temps est discret (fini), alors certains modèles utilisés précédemment peuvent aboutir à de réelles suprises.
C'est le cas de la fonction logistique \(f(x)=4x(1-x)\) dont le diagramme de bifurcation fait apparaître une structure fractale identique à celle de l'ensemble de Mandelbrot !

Certaines évolutions de population se prêtent à un modèle à temps discret plutôt que continu (par exemple des insectes dont les oeufs éclosent au même moment, dont les larves muent au même moment, etc.).

Tout cela nous mène à la (sublime) théorie du chaos, dont je parle régulièrement à mes élèves.

Pourquoi vous dis-je tout ça ?
David Louapre, alias ScienceEtonnante sur YouTube, vient de faire une vidéo sur ce thème : théorie du chaos, effet papillon, diagramme de bifurcation de la fonction logistique (fractale), attracteur étrange de Lorenz, transformation de Hénon... C'est tellement bien résumé et bien fait !
25 minutes de bonheur, et très accessible. La voici :

 

Pour ceux qui veulent creuser un peu, le film "Chaos" est incroyable et gratuit (http://www.chaos-math.org/fr/le-film) :

En tant que fan, mes élèves en ont donc tous déjà vu de longs extraits =)