Une maladie (exemple : cancer) est présente dans une population dans la proportion d’une personne malade sur 10 000, soit 0,01 %.
Un patient vient de passer un test pour le dépistage de cette maladie.
Le médecin le convoque pour lui annoncer le résultat : mauvaise nouvelle, il est positif.
Il lui indique alors que ce test est plutôt fiable :
« Si vous avez cette maladie, le test sera positif dans 99 % des cas.
Si vous ne l’avez pas, il sera négatif dans 99,8 % des cas ».
A votre avis, puisque le test est positif, quelle est la probabilité que le patient ait la maladie ?
• 90 % ?
• 80 % ?
• 70 % ?
• 60 % ?
• moins de 60 % ?
• moins de 30 % ?!
Pour ceux qui font un peu de statistiques, le problème revient à vous donner la prévalence de la maladie ainsi que la sensibilité et la spécificité du test.
Je demande alors la valeur prédictive positive (VPP).
... Mais nous y reviendrons dans cet article ! :)
Si vous avez répondu autre chose que « moins de 30 % », c’est que vous avez été trompé par ce biais cognitif bien connu, appelé « oubli de la fréquence de base » (aussi connue sous le nom de négligence de la taille de l’échantillon). Autrement dit, vous avez oublié de considérer la fréquence de base de l’occurrence de l’événement dont on cherche la probabilité… Le plus souvent, cela conduit à surestimer cette probabilité.
Les exemples les plus typiques de cette surestimation sont, en médecine, les surdiagnostics concernant le dépistage de certains cancers (seins, prostate, mais aussi poumons et thyroïde), l’asthme ou encore les troubles du déficit de l’attention.
Regardons cela en détail...
SOLUTION PAR L'EXEMPLE
Prenons un exemple en supposant que 1 000 000 personnes sont testées.
Avec \(1\ 000\ 000\) de personnes testées, il y a \(100\) malades et \(999\ 900\) non malades puisque 0,01 % de la population est malade.
D’après les affirmations du médecin sur la fiabilité du test, on a alors :
- parmi les \(100\) malades, \(99\) auront un test positif ;
- parmi les \(999\ 900\) non malades, \(2\ 000\) auront un test positif
(puisque \(0.2 \% \times 999\ 900 \approx 2\ 000\)).
Il y a donc \(2\ 099\) tests positifs, parmi lesquels \(99\) correspondent à des personnes malades.
Et \(\frac{99}{99 + 2\ 000} \approx 0.047\) donc :
avec un test positif, la probabilité que le patient ait la maladie est d’environ 4,7 %.
Autrement dit, il y a 95,3 % de faux positifs : 95,3 % des tests positifs désignent des personnes saines !
De même, avec un test négatif, la probabilité que le patient soit sain est :
\[\frac{997\ 900}{997\ 901} \approx 99,9998998 \%\]
Autrement dit, il y a 0,0001 % de faux négatifs.
Conclusion :
Pratiquement tous les malades présentent un test positif
…
mais pratiquement tous les tests positifs désignent des personnes saines !
On ne peut pas tout avoir !
SOLUTION PAR LES PROBABILITES CONDITIONNELLES
Pour ceux qui ont fait un lycée général ou technologique, ou ceux qui connaissent un peu les probabilités conditionnelles, on arrive aux résultats précédents avec les étapes suivantes :
On a utilisé le célèbre théorème de Bayes, que l'on peut énoncer ainsi :
Ce théorème est aussi appelé "formule de probabilité des causes" : elle permet en effet de calculer la probabilité d'une cause sachant celle de sa (ses) conséquence(s).
RESUMONS LES DONNES OBTENUES
Selon le message que je souhaite faire passer concernant les liens entre ce test et la maladie qu'il diagnostique, je peux facilement choisir le pourcentage approprié...
Comme dirait A. Levenstein, les statistiques, c'est comme le bikini : ce qu'elles révèlent est suggestif mais ce qu'elles dissimulent est essentiel !
Mais alors, puisque la probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif est très faible (4.7 %), voilà que ce test nous paraît un peu "inutile"...
Pas tant que ça car cette probabilité (en vert) est liée à la probabilité qu'un patient soit sain sachant que son test est négatif (en rouge/rose). Et mieux vaut que cette dernière soit très proche de 100% : il vaut mieux inquiéter quelqu'un à tort que de lui dire que tout va bien alors que ce n'est pas le cas... En médecine comme ailleurs, on mesure les risques et on essaie de les équilibrer.
D'autre part, en faisant ce test à une population, il sera positif pour environ 0.21 % des personnes*.
Certes, beaucoup de ces gens seront en réalité non malades, mais il suffira pour cela de faire des tests complémentaires plus long et plus onéreux...
En faisant ce test, on a évité de faire faire les tests complémentaires à toute la population : on a ainsi divisé la population de départ à examiner par plus de 476 !
* calcul effectué : \(99 \% \times 0.01 \% + 0.2 \% \times 99.99 \% = 0.20988 \% \)
Imaginons ce test sur une population de \(40\ 000\ 000\) de personnes : il sera positif pour \(83\ 952\) personnes, dont \(4\ 000\) seulement seront vraiment malades.
Il faudra donc effectuer les tests complémentaires sur ces \(83\ 952\) personnes au lieu des \(40\) millions.
Par ailleurs, n'oublions pas que 40 personnes auront un test négatif tout en étant malades... :(
Pour aller plus loin : un peu de vocabulaire statistique
Vous comprenez donc mieux ma phrase du début de l'article : " je vous donne ici la prévalence de la maladie, ainsi que la sensibilité et la spécificité du test.
Je demande alors la valeur prédictive positive (VPP) ".
Ces notions sont vues, par exemple, pendant la première année de PACES (première année commune aux études de santé).
Voici d'ailleurs ce qu'on peut voir pendant cette PACES :
CELA SERT-IL DANS D'AUTRES DOMAINES ?
Bien sûr !
• Par exemple, le raisonnement bayésien est aussi utilisé pour le filtrage des spams.
L’hypothèse initiale H est par exemple « tel message est un spam », puis l’algorithme réalise un certain nombre d’observations concernant le contenu du message (son expéditeur, les mots employés, la présence de liens, etc.)
A chacune de ces observations, grâce au théorème de Bayes, l’algorithme met à jour son estimation de la probabilité que le message soit un spam : il détermine la probabilité d'une cause sachant les observations faites. Une fois toutes les observations effectuées, en fonction de la valeur de la probabilité a posteriori, il peut décider de classer ou non le message comme spam.
• On l'utilise pour l'auto-apprentissage machine en intelligence artificielle : analyse d'images, cassage de codes, reconnaissance visuelle ou de la parole, deep learning, etc.
• En criminalistique, c'est très souvent utilisé. Vous pouvez télécharger ce document pour en savoir un peu plus. On y voit un exemple marquant où la probabilité qu'un suspect soit la source d'une trace ADN sachant que le test ADN est positif est très faible... Contre-intuitif !
• En physique des particules, on utilise le théorème de Bayes pour évaluer la probabilité d’existence d’une particule. En effet, ils produisent des particules ayant une durée de vie trop courte pour être observable : s’il n’est donc pas possible de voir directement ces particules, il est en revanche possible d’observer ce qui reste après leur désintégration.
Malheureusement, plusieurs particules peuvent avoir les même produits de désintégration. En observant ces produits de désintégration, c’est-à-dire un événement se produisant avec une probabilité donnée, les physiciens cherchent donc à mesurer la probabilité d’avoir produit une particule donnée en fonction des produits de dés intégration qu’ils observent.
La difficulté qu’ils rencontrent, qui est d’ailleurs souvent le principal obstacle à une utilisation efficace du théorème de Bayes, est qu’il n’est pas facile de déterminer une valeur acceptable pour la probabilité de chacune des causes possibles. Autrement dit, on est conduit à faire des hypothèses qui peuvent être sujettes à caution. Elles sont d’ailleurs l’objet d’une polémique, car elles ne s’appuient pas toujours sur des arguments physiques.
Source : Tangente HS n°17 (Nicolas Delerue)
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Une application étonnante : la contrebande d’ivoire
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QUAND UTILISER LES STATISTIQUES BAYESIENNES ?
Les deux approches se complètent, la statistique classique étant en général préférable lorsque les informations sont abondantes et d'un faible coût de collecte.
Ainsi, un sondage d'opinion ne coûte que quelques euros et un test en fin de chaîne de fabrication que quelques centimes : les statistiques classiques conviennent alors parfaitement.
Lorsqu'il est question de s'informer en effectuant un forage pétrolier, le coût des mesures devient tel que les méthodes bayésiennes, qui les minimisent, sont préférables.
En cas de profusion de données, les résultats sont asymptotiquement les mêmes dans chaque méthode, la bayésienne étant simplement plus coûteuse en calcul.
En revanche, la méthode bayésienne permet de traiter des cas où la statistique ne disposerait pas suffisamment de données pour qu'on puisse en appliquer les théorèmes.
Source : Wikipédia