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SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
• Une récurrence alternative (utile pour la convexité)
• Trois récurrences un peu plus difficiles (deux belles inégalités et une sublime inégalité)
Exercice 1 :
/ Exercice 2 :
\(\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} {n!}=+ \infty\).
• Le nombre d'Euler en somme infinie
\(e=\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\).
• Suites adjacentes et nombre d'Euler
\(\forall n \geq 2, 2 < \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}<e< \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n! \times n}\).
En \(+ \infty\), \(q^n \prec n^k \prec n!\).
• e et la capitalisation continue (1)
On y démontre que \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (1+\frac{1}{n})^n=e\).
\(u_o>0\), \(u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n})\) converge vers \(\sqrt{a}\)
+ étude de la vitesse de convergence et application pour approcher \(\sqrt{2}\).
Avec application pour déterminer valeurs approchées de \(\sqrt{2}\), \(e\), \(\ln(2)\) et \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
• Approximation décimale d'un réel
Tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels.
• Suites arithmético-géométriques
Étude de la convergence de ces suites.
Déterminer les éventuelles asymptotes obliques d'une fonction. Etude détaillée des fonctions rationnelles.
Parties A et B :
COMPLÉMENTS SUR LA DÉRIVATION ET LA CONVEXITÉ
• Définition algébrique de la convexité
\(f\) est convexe sur \(I\) \(\Longleftrightarrow\) \(\forall (a;b) \in I, \forall \lambda \in [0;1], f(\lambda a + (1-\lambda)b) \leq \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b)\).
\(f\) est convexe sur \(I\) \(\Longrightarrow\) pour tous réels \(x_i\), pour tous réels \(\lambda_i \geq 0\) tels que \(\sum \lambda_i = 1\), \(f(\sum\limits_ {k=1}^{n} \lambda_k x_k) \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_k f(x_k)\).
CONTINUITÉ D'UNE FONCTION, APPLICATION AUX SUITES
Avec application pour déterminer valeurs approchées de \(\sqrt{2}\), \(e\), \(\ln(2)\), \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) et \(\pi\).
• Convexité, continuité et milieux (1)
• Convexité, continuité et milieux (2)
Deux démonstrations du fait que pour démontrer la convexité d’une fonction continue \(f\) sur un intervalle I, il suffit de démontrer que les points milieux des cordes sont situés au-dessus des points de \(C_f\) correspondants.
• Équation fonctionnelle de Cauchy
\(f(x+y)=f(x)+f(y)\) avec \(f\) dérivable, \(f\) continue.
Découverte de \(\phi\) et \(\phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}\).
• Méthode de Newton - Raphson - Simpson - Muraille ?
Avec application pour déterminer valeurs approchées de \(\sqrt{2}\), \(e\), \(\ln(2)\), \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) et \(\pi\).
• Croissance comparée de \(\ln(x)\) et \(x\)
\(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}{x}=0\) par le théorème des gendarmes.
• Dérivabilité de la fonction \(\ln\)
• Équation fonctionnelle des exponentielles
\(f(x + y)=f(x) f(y)\).
• Équation fonctionnelle des logarithmes
\(f(x y)=f(x) + f(y)\).
• e et la capitalisation continue (2)
Une autre démonstration de \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (1+\frac{1}{n})^n=e\).
• Logarithme décimal et nombre de chiffres
Déterminer une valeur approchée de \(\log (x)\) avec l'algorithme de l'éditeur hollandais Vlacq.
• Remboursements à mensualités constantes
Déterminer une valeur approchée de \(\ln (x)\) avec l'algorithme du mathématicien Briggs.
PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
•
GÉOMÉTRIE VECTORIELLE DANS L'ESPACE
Alignement dans un tétraèdre (sommet, centres de gravité)
Changement de repère
Fonction vectorielle de Leibniz
Barycentre
ORTHOGONALITÉ ET DISTANCES DANS L'ESPACE
•
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
•
Avec applications (cheveux, MP3 et collision pour une fonction de hachage).
SUCCESSION D'ÉPREUVES INDÉPENDANTES ET LOI BINOMIALE
Avec application au problème du collectionneur de vignettes.
•
CONCENTRATION ET LOI DES GRANDS NOMBRES
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